2.1. La semantica della logica modale: un bambino di nome Kripke

2.1. La semantica della logica modale: un bambino di nome Kripke

Mag 22

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Cornici e modelli

Il 13 Novembre del 1940 nasce Saul Kripke, un bambino dalle abilità decisamente curiose. Maggiore di tre figli nati da Dorothy, scrittrice di libri ebrei educativi per bambini, e Rabbi Myer Kripke, leader della Beth El Synagogue, Kripke è stato da sempre etichettato come un prodigio.

Ha imparato da solo l’ebraico antico all’età di sei anni, letto tutte le opere di Shakespeare all’età di nove e studiato i lavori di Descartes e problemi complessi di matematica prima di terminare le scuole elementari.

A soli diciassette anni ha dimostrato il teorema di completezza per la logica modale che ha pubblicato un anno dopo.

Vivevamo a Omaha, un posto sperduto nel Nebraska. Verso i dodici o tredici anni chiesi a mio padre come potevamo sapere che non stiamo sognando. Mi disse che Cartesio aveva già risposto al problema nelle sue Meditazioni, e me le diede da leggere. Ho cominciato così. Poi sono passato a Hume e Berkeley, e verso i quattordici o quindici anni ho letto Platone. All’epoca non ho fatto nessun serio tentativo di leggere Kant.

Prima di Kripke la logica modale era dotata solo della sintassi, vale a dire di un sistema di assiomi su cui poter operare dei calcoli e delle dimostrazioni. Grazie a Kripke invece la logica modale ha potuto usufruire della nozione di verità e in particolare del fatto che gli assiomi dimostrassero cose vere.

Saul Kripke è uno dei pochissimi professori universitari che insegna senza aver conseguito un dottorato. Dopo il liceo infatti, ha conseguito un B.A. in matematica ad Harvard e descrive così i suoi anni universitari:

Quando arrivai a Harvard credevo che mi avrebbero incoraggiato, e invece ho passato un periodo molto infelice. Il professore di logica, Burt Dreben, fu molto dogmatico e scoraggiante: mi continuava a dire di fare il matematico, di non sprecare il mio talento con lavori filosofici che non valeva neppure la pena di pubblicare.

Fortunatamente per noi, anche ad Harvard ogni tanto si sbagliano.

Il primo concetto da imparare nella semantica di Kripke è il concetto di cornice.

Una cornice è una coppia 〈W, R〉 costituita da un insieme dei mondi, e una relazione di accessibilità.

L’insieme dei mondi è un qualsiasi insieme non vuoto e la relazione di accessibilità è invece una qualsiasi relazione binaria su W.
Se vale iRj si è soliti dire che ‘il mondo i vede il mondo j‘.
La relazione di accessibilità può essere di vari tipi. Per esempio può essere:

• totale, nel qual caso iRj vale sempre per i e j qualunque;
• vuota nel qual caso iRj è sempre falsa qualunque siano i mondi Irj ∈ W;
• oppure coincide con l’identità su W. In tal caso iRj vale sse i = j.

Dal punto di vista insiemistico estensionale una relazione R su un insieme W è un qualsiasi insieme di coppie ordinate di elementi di W, vale a dire un insieme della seconda potenza cartesiana di W. È perciò possibile che in una cornice ci siano mondi i che non vedono nessun altro, i compreso. Questi mondi vengono comunemente chiamati ‘dead ends‘.
Graficamente:

W = {i}

Il mondo i è un ‘dead end‘

W = {1, 2}

La relazione di accessibilità è la relazione che intercorre tra 1 e 2, e 1 vede 2

Se alla cornice aggiungiamo la valutazione otteniamo allora un modello, detto modello di Kripke, che è un tripla costituita da l’insieme dei mondi possibili, la relazione di accessibilità e la valutazione, ovvero〈W, R, v〉

La valutazione è una funzione a due argomenti che a ciascun mondo i ∈ W e a ciascun atomo proposizionale p ∈ AT associa uno dei due valori di verità, 0 (falso), 1 (vero).

v: W × AT → {0, 1}

Intuitivamente:

v(i,p) = 1 significa è vero al mondo i
v(i,p) = 2 significa è falso al mondo i

In sostanza la valutazione v su 〈W, R〉 fissa per ogni mondo i ∈ W un valore di verità (1/0; vero/falso) di ciascuna proposizione atomica del linguaggio.

Graficamente:

W = {i, j, k, u}

Il disegno rappresenta un modello in cui:

• q è vero a i e k e falso a j e u: v(i,q) = 1; v(k,q) = 1; v(j,q) = 0; v(u,q) = 0
• p è vero solo a k: 0 = v(j,p) = v(i,p) = v(u,p)
• r è vero solo a u: v(u,r) = 1

Con un solo mondo ci sono solo 2 cornici strutturalmente diverse, una riflessiva e un dead end. Con 2 mondi quindi ce ne sono 2^(2·2) = 2^4 = 16. Con 3 mondi ce ne sono 2^(3·3) = 2^9 = 512 e con n mondi 2^(n^2). Questo perché fissato un insieme di mondi con n elementi la seconda potenza cartesiana dell’insieme ha n^2 elementi. La relazione d’accessibilità è un sottoinsieme della seconda potenza cartesiana W^2 quindi le relazioni di accessibilità sono in corrispondenza 1 ad 1 con i sottoinsiemi di W^2 e perciò anche le cornici. La cardinalità dell’insieme potenza di W^2, P(W^2) ha la cardinalità 2^|W^2|, ovvero |P(W^2)| = 2^(|W^2|) = 2^(|W|^2) = 2^(n^2).

FONTI: tutte le citazioni sono prese dal Sito Web Italiano per la Filosofia – intervista di Piergiorgio Odifreddi a Saul Kripke http://www.swif.uniba.it/lei/rassegna/010102g.htm

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