2.2. Logica modale. Verità di una formula

2.2. Logica modale. Verità di una formula

Giu 05

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Dopo aver visto un accenno di semantica ed aver introdotto i concetti di modello e cornice è arrivato il momento di fornire una definizione induttiva di verità o forzatura di una formula.
La verità di una formula α in un mondo i di un modello M

si legge: α è vera al mondo i in M
oppure alternativamente: i forza α (in M)
Ovviamente quando è chiaro dal contesto in quale modello ci troviamo possiamo anche ometterlo
graficamente per una questione di brevità.
Abbiamo visto che dato un modello M=〈W , R , v〉 intuitivamente la valutazione v ci dice, di
ogni atomo p e ogni mondo i∈W , se p è vero o falso a i.
Si tratta ora di estendere questa informazione a formule α qualsiasi.

• Per quanto riguarda formule con connettivi della forma
  ¬β, α→ β, α ˅ β, α ˄ β
  si segue la semantica classica dei connettivi,
  es.: α ˄ β è vera al mondo i ↔ sia α che β sono veri al mondo i
• Per quanto riguarda invece le formule che iniziano con un operatore modale
  □β, ◊β
  si segue l’intuizione di Leibniz relativizzata ai mondi accessibili a quello rispetto al quale
  vogliamo valutare la formula.
  es.: dato * mondo possibile, □β è vero a * ↔ β è vero in ogni mondo possibile
  ◊β è vero a * ↔ β è vero in almeno un mondo possibile

Quindi, formalmente:

Si poteva omettere l’ultima clausola, prendendo il ◊ non come primitivo ma definito come segue:La clausola per si ricava dalla clausola per □ unitamente alla definizione di ◊.

Quindi in base alla definizione di forzatura ne deriva che:

e che

Per quanto riguarda invece i mondi che non vedono nessun altro, neanche se stessi, ovvero i
dead ends, vale che tutte le formule boxate sono vere, mentre tutte le formule ◊-ate sono false.
Perché?
La risposta nel prossimo post.

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