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LOGICA LOGICHE’? LOGICA DEL PRIMO ORDINE, DEL SECONDO ORDINE E LOGICA MODALE; APPUNTAMENTO 4

LOGICA LOGICHE’? LOGICA DEL PRIMO ORDINE, DEL SECONDO ORDINE E LOGICA MODALE; APPUNTAMENTO 4

Dic 27

 

Ora basta! Mollate il panettone per un attimo e prima di salire rassegnati sul tapis roulant tutti insieme contempliamo la bellezza della logica. Con serenità, poco poco, piano piano…

Ritorniamo per un attimo sui nostri passi e riepiloghiamo alcuni dei concetti già esposti: i ragionamenti sono formati da enunciati i quali possono assumere contenuti differenti e particolari, mentre la forma dei ragionamenti risulta essere più generale dei contenuti espressi. La logica si occupa della correttezza dei ragionamenti indipendentemente dai contenuti che vi sono espressi, quindi si concentra sulla forma dei ragionamenti. Naturalmente avere una forma logica generale, inclusa in un sistema coerente di formule dove gli enunciati assumono il valore di variabili, permette di poter inserire vari tipi di enunciati particolari in luogo delle variabili stesse. La logica non è quindi univocamente una astrazione operata partendo dal linguaggio comune, ma permette di formulare dei tipi di inferenze corretti e generali che poi noi possiamo successivamente applicare ai casi particolari. Come dice Berto in questo caso:

Questa [forma] ha una evidente proprietà: una volta isolata, se si tratta della forma di un argomento valido, darà luogo ad un argomento valido qualunque contenuto determinato le si dia. […] I linguaggi formali della logica, in generale, sono notazioni simboliche artificiali con cui possiamo esprimere la struttura o forma logica di moltissimi ragionamenti, allo scopo di indagarne le condizioni di validità.

Siete già stanchi e lo so! Ma bisognerà in qualche modo far ripartire anche il cervello incastrato in schegge pungenti di freddo invernale. Considerate questi post il vostro digestivo mentale (vagliate come slogan: “aiuta la vostra naturale regolarità neuronale!”), non siete saturi dei discorsi sul tempo protratti per ore coi parenti in questi giorni? Leggete qui! O siete fra coloro che durante le feste vorrebbero andare in letargo come gli orsi e svegliarsi a festeggiamenti conclusi? Allora rimanete sintonizzati su “filosofiablog” e imparerete qualcosa di nuovo (messaggio promozionale). Non vi sembro all’altezza dei miei post precedenti? Anche io ho mangiato troppo, siate pazienti…
Per quanto riguarda una specificazione terminologica riguardo ai vari tipi di linguaggi formali della logica, si ha che i linguaggi formali che riguardano soltanto la connessione logica fra enunciati espressa mediante le “parole logiche” si chiamano linguaggi enunciativi o proposizionali, o infine booleani dal matematico George Boole. La logica che tratta questo tipo di linguaggio formale si chiama quindi enunciativa o proposizionale.
Le “parole logiche” sono dei termini che introducono determinati tipi di relazioni fra gli enunciati. Queste parole logiche rimangono costanti come indicatori di relazioni formali nonostante vari il contenuto degli enunciati. Un esempio di parola logica è dato dalla congiunzione “e” intesa come indicatore della congiunzione, intendendo congiunzione come una specifica operazione logica semplice; altri esempi sono: “non”, “se; allora”, “tutti”, “o”… Ma li vedremo con calma. Tutti gli altri termini degli enunciati che non hanno valore logico sono detti termini o “parole descrittive”.
Quando entrano in gioco parole logiche che introducono espressioni di generalità come “tutti” (“ciascuno”, “ogni”, etc.) o “qualche” (“alcuni”, etc.), e che riguardano rispettivamente gli enunciati universali e quelli particolari, chiamano in causa linguaggi formali che sono detti linguaggi predicativi o elementari o, infine, linguaggi del primo ordine. La quantificazione degli enunciati aumenta la complessità della logica enunciativa ma non è qualcosa d’altro.
(E per ora ci limiteremo a considerare la logica del primo ordine che ha come suo sottoinsieme la logica predicativa, siate sereni.)
Nella logica del primo ordine si utilizzano nomi (formali come T, R, S, etc.) per individui (o gruppi come io, il mio cane, le pecore di Mario) e nomi per predicati cioè proprietà o relazioni (cioè l’essere mortale per Socrate, l’essere squallido riferito al locale, il fumare riferito al capo) afferenti a dei soggetti cioè gli individui. Cioè si sostituiscono i contenuti particolari degli enunciati, che siano individui o predicati, con delle lettere che esemplificano e generalizzano il conetnuto in favore della relazione. Come ci ricorda il Palladino, ci troviamo in presenza di una “ascesa sintattica”. Ci troviamo di fronte ad una descrizione definita quando abbiamo una descrizione che però individua con precisione un determinato individuo (ed esempio: “il cane nero e piccolo di cui è proprietario ladror di follie” il quale cane in questione è più semplicemente “Deva”), in questo caso le descrizioni definite vengono considerate come un individuo e quindi ancora sostituite con una lettera nella formalizzazione (quindi ad esempi “D” per Deva come per “il cane il cui padrone è ladror di follie”). Nella logica del primo ordine si utilizzano anche variabili per individui. Es: nel caso di “Socrate è mortale” invece di “Socrate” possiamo scrivere “X” intendendo il gruppo di individui che possiede la proprietà di essere mortale operando una generalizzazione sintattica. Mentre i predicati non hanno variabili nella logica del primo ordine. Cioè le proprietà e le relazioni fra i termini sono sempre formali e generali, mai particolari.

Nella logica del secondo ordine invece (questa selva oscura in cui la diritta via sembrò pur essa storta) si hanno nomi per individui e per predicati. Inoltre si hanno nomi per predicati di predicati, cioè proprietà di proprietà. Ad esempio: (Uhm?… Ah sì!) “l’orco sta mangiando voracemente dei bambini croccanti”; possiamo non contare “voracemente” e considerare solo “mangiare” e rientrare nella logica del primo ordine. Oppure considerare “voracemente” come una proprietà di “mangiare” che a sua volta è già un predicato afferente all’“orco”. “Voracemente” è quindi rispetto al soggetto “orco” (o individuo) un predicato di un predicato (una proprietà di una proprietà). (“Croccanti” per il momento è solo un abbellimento). In secondo luogo nella logica del secondo ordine si possono quantificare sia gli individui poiché possono essere sostituiti con variabili, ma si possono quantificare anche i predicati perché possono essere sostituiti da variabili (le variabili presuppongono gruppi e non più l’indeterminata totalità dei casi). Mentre i predicati di predicati (qualità di qualità o relazioni di relazioni) vengono sostituiti da un nome anche’essi (T, R, S, etc.…) ma non da una variabile.
Con altre parole (spero semplici ma ahinoi temo non troppo), la logica del primo ordine agisce su proprietà che riguardano gli elementi contenuti in un ipotetico insieme “X” di riferimento; es.: “ogni elemento di X ha la proprietà P”. Gli elementi di X sono considerati come semplici. La logica del secondo ordine riguarda proprietà che si riferiscono invece ai sottoinsiemi di X, dove gli elementi di X non sono più semplici ma a loro volta sono degli insiemi. Quindi non si potrà considerare nella logica del primo ordine una quantificazione del tipo: “per tutti i sottoinsiemi dell’insieme X vale la proprietà P”; poiché il moltiplicarsi di insiemi in sottoinsiemi presume la moltiplicazione delle relazioni fra gli insiemi stessi e quindi le regole che valevano per elementi semplici non valgono più se questi divengono insiemi a loro volta. Ho chiamato in causa la terminologia matematica dove questo tipo di dinamica si ripete pari pari dimostrando quando la logica sia un campo interdisciplinare, ma questo verrà approfondito più avanti.
Se ho sbagliato (e qualcuno l’ha capito) è pregato di farsi avanti e dire la sua (così il mio piccolo cane nero lo morderà sugli stinchi).

Prima di lasciarci per più morbidi lidi inoltre, la logica che tratta il valore degli enunciati (e delle loro relazioni di composizione in inferenze) come verofunzionali (cioè con valori di verità che possono essere “vero” o “falso”) si chiama logica estensionale.

La logica estensionale si distingue dalla logica modale che a sua volta, seguendo la distinzione riportata nel manuale Boniolo-Vidali, si suddivide in:
logica modale aletica che tratta enunciati quali: “è necessario che P”; “è possibile che P”; ecc.
logica modale epistemica, che tratta enunciati quali: “so che P”; “credo che P”; ecc.
logica modale deontica, che tratta enunciati quali: “è obbligatorio che P”; “è permesso che P”; ecc.
logica modale temporale, che tratta enunciati quali: “è sempre vero che P”; “talvolta è vero che P”; ecc.
logica modale etica, che tratta enunciati quali: “è bene che P”; “è male che P”; ecc.

Ma vi ripeto che noi per ora ci occuperemo della logica estensionale del primo ordine.
Bene, se c’è qualcosa che non avete capito, ci sono buone possibilità che sia stato il maggiordomo, altrimenti se gli dei della conoscenza dovessero leggere questo blog e riscontrare degli orrori ai loro occhi, parlino pure col webmaster.

Per Approfondire



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4 comments

  1. Guido Fiorentino

    Vorrei segnalare alla vostra attenzione il mio articolo “Un esperimento mentale sui fondamenti logici della matematica” recentemente comparso sul “bookshelf” dei rudi matematici”, che mette in evidenza un aspetto della logica proposizionale, secondo che riguarda concetti o invece attributi, a mio avviso dui interesse ben maggiore dell’ordine. Cordialmente
    Guido Fiorentino

  2. Alberto Stancari

    Salve,

    per prima cosa faccio i complimenti a chi (per puro amor di conoscenza, cioè da filosofo e non da sofista) cerca di spiegare cosa è la logica di secondo ordine; ciò detto, pongo una domanda (probabilmente ingenua): prendo la proposizione dell’esempio ‘l’orco sta mangiando voracemente dei bambini croccanti’ e la riduco a ‘l’orco mangia dei bambini’; che il soggetto sia l’orco mi sembra certo, mentre sul predicato sono incerto:

    1) posso considerare come predicato ‘mangia dei bambini’e così tratto un predicato complesso (cioè una relazione tra la proprietà ‘magiare’ e la proprietà ‘essere bambino’) e resto all’interno della logica di primo ordine;

    2) posso considerare come primo predicato ‘mangia’ e come secondo predicato ‘dei bambini’ e così tratto un predicato di un predicato quindi entro nella logica di secondo ordine; queste strade sono entrambe corrette?

    Scegliere di entrare nel regno del secondo ordine solo per trattare un banale complemento oggetto mi sembra barocco (ma forse non ho capito bene la questione).

    Grazie.

    • Davide Boratto

      Ciao Alberto!

      E’ giusto quello che dici: adesso che rileggo quello che ho scritto qualche anno fa, mi accorgo di essere stato forse troppo semplicistico, anche per esigenze di sintesi ed esposizione. Che cosa ne dici di fare tu un esempio? Così possiamo proseguire la conversazione con annessi ulteriori esempi e più esplicativi. Credo che questo rientrerebbe appieno nello spirito di discussione che vogliamo dare al blog.

      Grazie dei tuoi commenti. Un caro saluto,
      Davide

  3. Alberto Stancari

    Parto da quello che ha detto un signore piuttosto preparato di nome Aristotele.

    1) Soggetto e predicato.
    Una proposizione assegna un predicato a un soggetto; come distinguere nella proposizione quale termine funge da soggetto e quale funge da predicato? La risposta per semplicità e potenza è degna del suo autore: il soggetto può essere sia un individuo che una categoria mentre il predicato è sempre una categoria; da qui la celebre tesi “dell’individuo non si può avere scienza” sulla quale tantissimo è stato detto ma non sarà mai detto abbastanza…

    2) Universale, particolare e singolare.
    Se fungono da soggetto tutti gli individui di una classe allora la proposizione è universale; se fungono da soggetto alcuni individui di una classe allora la proposizione è particolare; se funge da soggetto un individuo allora la proposizione è singolare. Questa classificazione è molto efficace e permette di capire quanto è confuso il nostro linguaggio quotidiano dove le parole ‘particolare’ e ‘singolare’ vengono usate come sinonimi e invece secondo Aristotele i significati in gioco sono opposti in quanto la prima esprime un concetto (una cosa intellegibile) mentre la seconda un oggetto (una cosa sensibile).

    3) Funzione e quantificatore.
    Per 2200 anni (lustro più o lustro meno) il genio logico degli esseri umani rimane in letargo fino all’arrivo di Frege che riprende la logica di Aristotele e la formalizza usando la notazione matematica. Per Frege un predicato riferito a un soggetto deve essere pensato come una funzione applicata a un argomento: una funzione che ammette 1 argomento si chiama proprietà e una funzione che ammette N argomenti si chiama relazione. Inoltre la natura universale o particolare del soggetto deve essere tradotta usando il segno di quantificatore che può essere universale o esistenziale. Di seguito qualche esempio di proposizione singolare dove seguo la convenzione di indicare con lettera minuscola il soggetto e con lettera maiuscola il predicato:

    ‘Piero è buono’, pongo B = proprietà di essere buono e ottengo: B(p);
    ‘Piero è amico di Renzo’, pongo A = relazione di amicizia e ottengo: A(p,r)
    ‘Piero mangia’, pongo M = proprietà di essere mangiante e ottengo: M(p)
    ‘Piero mangia il riso’, pongo M = relazione di mangiare, R = proprietà di essere riso e ottengo: M(p,x) ˄ R(x) [Piero mangia qualcosa e questo qualcosa è riso].

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