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LOGICA FORMALE 35: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELL’ESISTENZIALE

LOGICA FORMALE 35: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELL’ESISTENZIALE

Ago 01

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E mentre voi partite per le ferie, e mentre sono rimasti solo gli acari e pochi computer senzienti a dileggiare i miei post, stoico e pazzo oggi insisto con questo articolo che rincara la dose e vi toglierà il fiato ai neuroni per quanto è secco e spudoratamente logico. Ergo, senza preamboli artificiosi, la regola per l’eliminazione del quantificatore esistenziale, “E∃” per gli amici, può essere compresa in analogia con la regola per l’eliminazione della gisgiunzione “E⋁”. Infatti possiamo pensare all’eliminazione dell’universale come una serie indefinitamente lunga di disgiunzioni verificate dal caso in cui almeno uno dei disgiunti possegga la proprietà in esame. Il problema è quando dobbiamo fare il passaggio inverso, cioè quando da una formula quantificata esistenzialmente si voglia derivare una formula senza quantificatore (ad esempio “α” come meta variabile) in cui dovrebbero comparire quindi indefiniti termini appartenenti all’insieme specificato dalla iniziale formula con quantificazione (ad esempio “∃xf(x)”) in cui almeno uno di questi possiede la proprietà presa in esame.

La faccenda ora si fa leggermente complicata, ma se siete venuti fin qui non vi farà certo problema andare oltre, disse Montresor a Fortunato (come ben sapeva Poe). Riporterò ora lo schema generale di derivazione di questa formula presentato da Berto per maggiore chiarezza:

[α[x]]

∃xα[x, y],     β         [E∃]

————————————–

β

Prendiamo la nostra formula quantificata “∃xF(x)” la quale dice generalmente che esiste un qualcosa per il quale vale una certa condizione. A questo punto poniamo che la nostra formula “β” non quantificata implichi il valere della condizione della formula precedente (in cui compare un il quantificatore esistenziale) per un “x” che sia un oggetto qualsiasi. Questo perché, considerando “x” come una variabile libera essa può essere eguagliata ad un qualsiasi oggetto e non ad un insieme in particolare (esempio: “i numeri reali”). Infatti possiamo tentare di semplificare  “∃xF(x)” in “F(x)”  (cioè pensare che vi sia effettivamente un caso in cui sia valido l’esistenziale) e se “β” segue da “F(X)” allora seguirà anche da “∃xF(x)”.  A questo punto possiamo dire che per applicare la regola di quest’oggi, cioè “E∃”, quando compaia in un ragionamento,  basta provare che esiste un caso in cui vale  “∃xF(x)” per derivare una conclusione “β” in cui l’esistenziale può essere espunto come ovvio e quindi ridondante. Inoltre, come nella regola dell’eliminazione della disgiunzione (“E⋁”) si scaricavano i singoli disgiunti, qui si scarica il disgiunto tipo cioè la prova dell’esistenziale.

La regola inoltre è sottoposta a tre restrizioni:

a) La prima è che la variabile “y” non compaia libera in “α”, a meno che non coincide con “x”.
b) In secondo luogo “x” non deve comparire libera nelle assunzioni utilizzate per derivare “β” dal disgiunto tipo. Anche se sarà libera nel disgiunto tipo stesso.
c) Infine, occorre che “x” non sia libera nemmeno in “β” cioè nella conclusione che si vuole derivare.

Dopo essermi consultato a lungo co me stesso, sono arrivato alla conclusione che la maniera migliore per comprendere questo tipo di regola sia entrare nell’ottica del Copi-Cohen, manuale di logica in cui l’eliminazione dell’esistenziale viene spiegata all’interno di una terna sillogistica. Non si tratta di giusto o sbagliato ma solo del fatto che per qualcuno non addentro ai lavori sia più semplice afferrare un sillogismo, apparentemente più vicino al senso comune, piuttosto che un tecnicismo logico.
Questa regola ci dice che da una formula in cui “x” è quantificato esistenzialmente, dobbiamo ricavare una formula in cui “x” è quantificato universalmente. Osseviamo l’esempio:

Alcuni rettili sono coccodrilli,
Tutti i coccodrilli sono animali,
quindi
Tutti i rettili sono animali.

Le prime due righe rappresentano rispettivamente la premessa maggiore e quella minore del sillogismo, mentra la terza, separata dal “quindi”, rappresenta la conclusione del nostro sillogismo. Come ho già detto, tratterò più avanti alcune nozioni di sillogistica aristotelica. Per il momento possiamo osservare come da da “1” quantificata esistenzialmente, si passi a “3”, quantificata universalemente. Nel nostro caso infatti “x” si riferisce ai “coccocdrilli”.
Se vi sono altri dubbi o errori potete chiedere a me riempendo il modulo in algebra booleana nella backdoor del sito o, più semplicemente, ai miei coccodrilli.


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