Temi e protagonisti della filosofia

LOGICA FORMALE 34: REGOLA DI INTRODUZIONE DELL’UNIVERSALE

LOGICA FORMALE 34: REGOLA DI INTRODUZIONE DELL’UNIVERSALE

Lug 26

E stasera, in ritardo, enunciamo con solerzia la sagace regola di introduzione dell’universale “I∀” che serve palesemente per derivare, come conclusione, una formula universale. Questa regola agisce come il nostro maestro delle medie quando ci diceva, ad esempio, che tutti i triangoli hanno una certa proprietà esemplificata dal triangolo con vertici “A, B, C,” illustrato alla lavagna, e noi intanto disegnavamo cose sconce sui diari. In realtà si tratta di estendere una generalizzazione da un esempio specifico ad una indefinita molteplicità di casi simili, verosimilmente infiniti.
La regola odierna del linguaggio predicativo funziona similmente al maestro delle superiori, con la differenza che questa volta è meglio se mettete i diari qui sulla cattedra e state attenti. L’introduzione dell’universale sfrutta il valore arbitrario delle variabili libere come “x, y, q, …” che in questo senso funzionano come pronomi indeterminati che incarnano un caso generale nella molteplicità indefinita di casi accomunati dalla stessa proprietà. Con le parole di Berto:

Ora, se riusciamo ad esempio a derivare F(x), per un x completamente arbitrario, la nostra derivazione di F(x) funge da schema applicabile a qualsiasi particolare oggetto nel campo di variazione della variabile. Questo ci legittima ad inferirne ∀xF(x).

Esistono però delle restrizioni all’uso di questo superpotere:
a) Considerando lo schema generale della regola come:

α [x] / ∀yα[x/y]

Dove il primo segno “/” è sempre da considerarsi come la linea che separa le premesse dalla conclusione. Mentre, la conclusione, al solito, dipenderà da tutte le premesse del ragionamento. Nel caso specifico di questa regola, la variabile “y” non deve comparire libera in “α” (dove “α” è semplicemente una formula che funge da premessa), sempre che “y” non coincida con “x”. Ricordiamo che l’essere libera di una variabile significa il non essere quantificata da uno dei due quantificatori esistenziale o universale. Nel caso di “x” coincidente con “y” si ha:

α[x]/∀xα

Dove nella premessa è sottointeso “I∀”.
b) Inoltre la regola può essere applicata solo se la formula “α[x]”, a sua volta, non dipende da assunzioni in cui la variabile “x” compare libera. Se “x” risultasse libera e non vincolata universalmente, di fatto non potremmo estendere la proprietà in gioco nel nostro ragionamento alla totalità dei casi. Ci troveremmo cioè con “x” come una variabile riferita a qualcosa di diverso dalla totalità dei casi, quindi a dei casi particolari, ciò inevitabilmente renderebbe inutile il nostro tentativo di estendere il nostro ragionamento alla totalità dei casi.
Analizziamo ora l’argomento esemplificativo introdotto dal Berto:

(P1) Tutti gli animali sono mortali;
(P2) Tutti gli uomini sono animali;
(C) Tutti gli uomini sono mortali.

Possiamo formalizzare il nostro ragionamento, in questo caso si tratta proprio di un sillogismo in piena regola (e vedremo più avanti cosa sono i sillogismi) nel seguente modo:

∀x(A(x)→M(x)), ∀x(U(x)→A(x)) ᅡ ∀x(U(x)→M(x))

(1)    1             ∀x(A(x)→M(x))        Ass
(2)    2             ∀x(U(x)→A(x))        Ass
(3)    1              A(x)→M(x)                1, E∀
(4)    2             U(x)→A(x)              2, E∀
(5)    5              U(x)                      Ass
(6)    2, 5         A(x)                     4, 5, E→
(7)    1, 2, 5      M(x)                  3, 6, E→
(8)    1, 2          U(x)→M(x)          5, 7, I→
(9)    1, 2          ∀x(U(x)→M(x))   8, I∀

Partiamo assumendo le due premesse del nostro ragionamento, quindi eliminiamo i quantificatori. A questo punto con le regole di eliminazione del condizionale prima e quella di introduzione del condizionale poi otteniamo la formula della riga “8”. A questo punto con la regola di introduzione dell’universale deriviamo la riga “9” che come si può vedere dipende dalle assunzioni alle righe “1” e “2” dove come richiesto “x” era vincolata.
Ci siamo? Volete sapere altro dei sillogismi? È meglio se per oggi vi restituisco i vostri diari…


Ti è piaciuto il post? Dona a Filosofia Blog!

Cliccando sul pulsante qui sotto puoi donare a Filosofia Blog una piccola cifra, anche solo 2 euro, pagando in modo sicuro e senza commissioni. Così facendo contribuirai a mantenere i costi vivi di Filosofia Blog. Il servizio di donazioni si appoggia sul circuito il più diffuso e sicuro metodo di pagamento online, usato da più di 150 milioni di persone. Per poter effettuare la donazione non è necessario avere un account Paypal, basta avere una qualsiasi carta di credito o Postepay. Grazie!

Leave a Reply