LOGICA FORMALE 33: ELIMINAZIONE DELL’UNIVERSALE
LOGICA FORMALE 33: ELIMINAZIONE DELL’UNIVERSALE
Lug 18[ad#Ret Big]
Ed è solo in virtù della grandissima mole di richieste che oggi trattiamo la regola di eliminazione dell’universale, ossia: “E∀”. In alternativa potremmo anche mandare l’ultimo video di Rihanna, ma purtroppo il televoto ha decretato per “E∀”, e come sapete, io non mi pronuncio di fronte alla volontà popolare. Per spiegare l’eliminazione dell’universale ci sarà utile una analogia con la congiunzione. Per essere precisi ci riferiremo inizialmente alla congiunzione rispetto ad un insieme di oggetti finito dove la variabile “x” si applicata a tre soli oggetti, per semplicità. Possiamo quindi dire che ogni cosa ha la proprietà “V” cioè essere un video di Rihanna e se ci riferiamo ad un insieme di tre ogggetti “p”, “q” ed “r”; diremo che “p”, “q” ed “r” hanno la proprietà “V” che è la nostra variabile. Potremo così scrivere, come si è visto nella prima parte del cosrso di logica qui su filosofiablog.it, quanto segue: “V(p) ⋀ V(q) ⋀ V(r)”. Come dice il caro vecchio ed inossidabile Berto:
Se volessimo parlare sempre di insiemi finiti di cose, il quantificatore universale sarebbe rimpiazzabile da una congiunzione più o meno lunga. Poiché però nelle scienze deduttive si parla spesso di un’infinità di oggetti (ad esempio, la serie dei numeri naturali in aritmetica), ci occorre ∀, che possiamo dunque pensare, per così dire, come una specie di «generalizzazione transfinita» di ⋀.
“Generalizzazione transfinita” non ha a che fare con la mamma di nessuno ma è soltanto un modo di dire più o meno “quasi-infinita”. La regola di eliminazione dell’universale, analogamente per la congiunzione, ci dice che se una cosa è valida per la totalità, o per i congiunti della congiunzione, a maggior ragione sarà valida per il singolo caso; per questo “E∀” viene anche chiamata regola di esemplificazione.
E finalmente possiamo dimostrare che Socrate è un uomo se gli uomini sono mortali! Vedo grida di giubilo e cartelloni con scritte pornografiche lì sugli spalti nel terzo anello, vi amo tutti!
(P1) Tutti gli uomini sono mortali;
(P2) Socrate è un uomo;
quindi,
(C) Socrate è mortale.
Usiamo le costanti predicative “U” e “M” rispettivamente per le proprietà di essere “uomo” e di essere “mortale”; mentre utilizziamo la lettera “s” per il nome “Socrate”. Quindi riscriviamo tutto in linguaggio predicativo:
∀x(U(x)→M(x)), U(s) ᅡ M(s)
(1) 1 ∀x(U(x)→M(x)) Ass
(2) 2 U(s) Ass
(3) 1 U(s)→M(s) 1, E∀
(4) 1, 2 M(s) 2, 3, E→
Si assumono le due premesse del ragionamento nelle righe “1” e “2”. Alla riga “3” si elimina l’universale. Quindi si utilizza la formula per l’eliminazione del condizionale per ottenere la conclusione voluta.
Osserviamo che la formula alla riga “3” è stata ottenuta con 2 modificha: (a) eliminando dalla formula della riga “1” il quantificatore universale, e, (b) sostituendo nella formula rimanente: “x(U(x)→M(x))” alla variabile “x” il nome proprio “s” che in questo esempio non è metavariabile ma si riferisce proprio a Socrate.
Per come è formulata questa regola, “E∀”, possiamo derivare dalla formula “∀xF(x)” sia “F(m)” con “m” nome proprio come nell’esempio sopra proposto; ma anche solo derivare da “∀xF(x)” la formula aperta “F(x)”. Al che Berto scrive:
In questo caso, si potrebbe considerare che il termine t sostituito a x in α sia x stesso, e naturalmente α[x/ x] = α
Questo significa che, eliminato l’universale, la proprietà “F” continua a valere invece che per uno, per un numero “x” finito di elementi sottoinsieme dell’insieme totale a cui era applicato il quantificatore universale. Infatti, intuitivamente, se diciamo “tutti i cani sono mammiferi”, sarà vero anche “i cani del mio canile sono mammiferi” e quindi nel caso specifico anche: “il mio cane è mammifero”.
Il mio cane però non è mammifero, è vorace… Ma ciò, come sapete, insieme ad Hegel e ad altro ancora… appartiene ad un’altra storia…
