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LOGICA FORMALE 31: ALTRI TEOREMI CON “DN”

LOGICA FORMALE 31: ALTRI TEOREMI CON “DN”

Lug 04

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Salve, oggi facciamo apparentemente poco, velocemente, che nessuno ci legge e non si capiscono i particolari. E’ questo il modo migliore per fare una finanziaria come ci hanno abituati qui in Italia. Tanto meglio i miei post di logica andranno avanti così, come i partiti, con maggiori dosi di circo, slogan, dettagli pruriginosi e inutili ma, soprattutto, nascondendo ciò che si dovrebbe sapere bene. Peccato che nel mio caso il segretissimo piano per conquistare il mondo fregando gli spiccioli dimenticati nei blocchetti dei carrelli della spesa fuori dai supermercati sia già di dominio pubblico, eppure… anche questo non mi fermerà!
Vi ho già parlato della legge di autofondazione o consequentia mirabilis?

LEGGE DI AUTOFONDAZIONE O CONSEQUENTIA MIRABILIS

ᅡ(¬α→α)→α

(1) 1                  ¬α→α                       Ass
(2) 2                 ¬α                              Ass
(3) 1, 2             α                                 1, 2, E→
(4) 1                  ¬¬α                            2, 2, 3, I¬
(5) 1                  α                                  4, DN
(6)               (¬α→α)→α                    1, 5, I→

Parafraso la telecronaca del buon Berto che ha seguito di persona l’evento: si comincia con l’assumere l’antecedente del condizionale che vogliamo dimostrare alla riga “1”. Si nega il conseguente seguendo la strada della riduzione all’assurdo; cioè si ipotizza la negazione del nostro condizionale per mostrarne l’invalidità. Ricaviamo quindi “α” dalle righe “1” e “2” grazie alla legge per l’eliminazione del condizionale. A questo punto utilizziamo la legge per l’introduzione della negazione “I¬” utilizzando come prime due premesse la formula della riga “2” poiché, come abbiamo detto nei post passati, è sottointeso che una formula segue da se stessa. Otteniamo così una doppia negazione di “α” e con “DN” otteniamo “α” che è proprio la conclusion del nostro condizionale, la quale volevamo ottenere sin dall’inizio. Applichiamo quindi nell’ultima riga la legge per l’introduzione del condizionale per mettere in relazione la formula della riga “1” con quella della riga “5” cioè “α”. “Cotto e mangiato!” secondo un fastidioso slogan che speriamo non abbia copyright; no, i non mi lecco le dita e godo solo a metà! (secondo un secondo fastidioso slogan) È Deva che mi lecca le dita per ricordarmi: “Padrone cos’è questa roba che hai mangiato, te n’è rimasta sulle dita! Dammi da mangiare!!!!!” E poi morde.
Con le regole ora in nostro possesso, si possono anche dimostrare le famosissime leggi di De Morgan, che ogni studioso di filosofia del primo anno avrà imparato a memoria e poi dimenticato spudoratamente:

LEGGI DI DE MORGAN

ᅡα⋁β↔¬(¬α⋀¬β)

ᅡα⋀β↔¬(¬α⋁¬β)

Cosa dice il famoso “pimo teorema di De Morgan”? Che Deva o è un cane o è un cavallo solo se non è sia un non cane e un non cavallo. Se infatti Deva non è sia un non cane che un non cavallo allora è un cavallo e un cane insieme e ciò non va bene. Quindi la prima parte del bi condizionale implica l’esclusività dei due stati “α” o “β”, ma mostra anche una importante connessione fra congiunzione e disgiunzione. Spero di essere stato abbastanza chiaro. Altrimenti su facebook ho delle foto del mio cane per farvi vedere che non è un cavallo.
Altra legge che vi sottopongo è una difficile:

LEGGE CLASSICA DI CONTRAPPOSIZIONE, O DI ŁUCASIEWICZ

ᅡ(¬α→¬β)→(β→α)

(1) 1                         ¬α→¬β                      Ass
(2) 2                             β                              Ass
(3) 3                             ¬α                            Ass
(4) 1, 3                    ¬β                                1, 3, E→
(5) 2, 3                    ¬α⋀β                          2, 3, I⋀
(6) 2, 3                        β                               5, E⋀
(7) 1, 2                     ¬¬α                            3, 4, 6, I¬
(8) 1, 2                        α                               7, DN
(9) 1                            β→α                         2, 8, I→
(10)             (¬α→¬β)→(β→α)              1, 9, I→

Questa legge ci dice, ad esempio, che se un corpo non ha massa allora non esercita una attrazione gravitazionale a patto che un corpo che abbia massa allora eserciti una attrazione gravitazionale.
L’introduzione di “DN” rende ridondante la regola per l’eliminazione della negazione. Per i palati logici più fini una citazione da Berto riguardo alle tre regole introdotte a riguardo della negazione:

con solo (I¬) abbiamo (tipicamente) la logica minimale [comprese tutte le regole del linguaggio predicativo precedenti a “I¬”]; con (E¬) abbiamo il trattamento della negazione caratteristico della logica intuizionistica; e con anche (DN) abbiamo la logica classica.

Ora dormirò più tranquillo.


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