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LOGICA FORMALE 24: LEGGE DI ELIMINAZIONE DELLA CONGIUNZIONE

LOGICA FORMALE 24: LEGGE DI ELIMINAZIONE DELLA CONGIUNZIONE

Mag 16

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Tritate alcune negazioni logiche e unitele al soffritto di congiunzioni. Pepate con qualche bicondizionale. Scolate le alici e aggiungete una grattatina del gomito di Russel. Quando la pasta è al dente unite al sugo e servitela con contorno di silicio e processori logici strappati freschi e ancora pulsanti dal vostro portatile. Buon appetito! E se la logica vi sta un po’ sullo stomaco è il momento di digerire con due nuovi, dolcissimi, teoremi…

Tratteremo oggi di un teorema legato alla legge di introduzione del condizionale, cioè il teorema di transitività (ho già l’emicrania in bocca):

TEOREMA DI TRANSITIVITA’

Partiamo dal seguente schema di argomento:

α→β, β→ɣᅡα→ɣ

Che potremmo esemplificare con: “se il mio cane è affamato allora mi morde gli alluci”, “se mi morde gli alluci significa che è irritato”, quindi “se il mio cane è affamato allora è irritato”. Ricordo che questo è un argomento che concerne la causalità logica relativa al condizionale materiale, non alla causalità reale efficiente, meccanica, o altro tipo di causalità!

(1) 1               α→β                  Ass
(2) 2              β→ɣ                   Ass
(3) 3              α                          Ass
(4) 1, 3          β                         1, 3, E→
(5) 1, 2, 3     ɣ                          2, 4, E→
(6) 1, 2          α→ɣ                   3, 5, I→
(7) 1            (β→ɣ)→(α→ɣ)        2, 6, I→

da cui:

(8)                (α→β)→((β→ɣ)→(α→ɣ))

Che è quindi il teorema o legge di transitività:

ᅡ(α→β)→((β→ɣ)→(α→ɣ))

Calma e sangue freddo! Osserviamo che questo teorema è stato ottenuto grazie alla regola dell’assunzione che permette di assumere qualsiasi premessa sia utile al nostro ragionamento e alle regole di introduzione (I→) ed eliminazione (E→) del condizionale trattate negli ultimi post.

E per non far mancare nulla al nostro menù presento anche la legge di eliminazione della congiunzione. Sappiamo sempre dalla tavola di verità della congiunzione che essa è vera se entrambi i congiunti sono veri, negli altri casi la congiunzione risulta falsa. La regola di eliminazione della congiunzione permette da una congiunzione di derivare uno dei suoi congiunti. La si può schematizzare con
α⋀β / α; α⋀β / β [E⋀]
Per esporre questa legge prendiamo l’esempio di Berto (che ci permette, fra l’altro, di esporre un altro teorema). Osserviamo, un po’ di sbieco, il seguente schema di argomento e relativa dimostrazione:

α→(β→ɣ) ᅡ α⋀β→ɣ

(1) 1               α→(β→ɣ)               Ass
(2) 2              α⋀β                          Ass
(3) 2              α                                2, E⋀
(4) 2              β                                2, E⋀
(5) 1, 2         β→ɣ                         1, 3, E→
(6) 1, 2          ɣ                               4, 5, E→
(7) 1             α⋀β→ɣ                   2, 6, I→

E adesso la telecronaca delle dimostrazione: al passo uno è stata assunta la premessa del nostro schema d’argomento. Al passo due invece è stato assunto l’antecedente del condizionale che vogliamo derivare (potendo assumere qualsiasi premessa ma ovviamente non la conclusione tal quale). Al passo tre, grazie alla regola per l’eliminazione della congiunzione (“E⋀”) otteniamo il primo congiunto, mentre al passo quattro con la stessa regola otteniamo il secondo congiunto. Al passo cinque invece utilizziamo la regola per l’eliminazione del condizionale (“E→”) applicata sulla riga uno e tre, o modus ponens, che ci permette di derivare il conseguente del condizionale: in questo caso “β→ɣ”. Applichiamo nuovamente la regola per l’eliminazione del condizionale sulle righe quattro e cinque e deriviamo il conseguente del condizionale cioè “ɣ”. Utilizziamo qui di nella riga sette la regola per l’introduzione del condizionale (“I→”) sulle righe due e sei e quindi dimostriamo lo schema dell’argomento iniziale. Osserviamo, come specificato nel post precedente, che nella colonna delle assunzioni della riga sette relativa all’introduzione del condizionale, abbiamo solo “1” poiché l’assunzione della riga “2” è stata “scaricata” dall’applicazione di questa regola.
Ora alla riga sette compare nella colonna delle assunzioni una sola assunzione, se quindi applichiamo ancora la regola per l’introduzione del condizionale sulla riga uno e sulla sette otteniamo un altro teorema noto:

(7) 1                  α⋀β→ɣ                                          2, 6, I→
(8)          (α→(β→ɣ))→ (α⋀β→ɣ)                      1, 7, I→

Alla riga otto abbiamo zero premesse quindi diventa un teorema:

LEGGE DI IMPORTAZIONE

ᅡ(α→(β→ɣ))→ (α⋀β→ɣ)

Chi si ferma è una negazione logica!


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