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LOGICA FORMALE, APPUNTAMENTO 19: ULTIMI RINTOCCHI PER IL LINGUAGGIO PREDICATIVO

LOGICA FORMALE, APPUNTAMENTO 19: ULTIMI RINTOCCHI PER IL LINGUAGGIO PREDICATIVO

Apr 11

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Ieri è stata una pessima giornata, avevo la barba lunga, sono andato dal barbiere di Russell e l’ho trovato nella sua bottega che piangeva, inconsolabile… Commentai drammatico a voce alta che forse lo rattristava il senso delle nostre vite. Marco, il ferramenta all’angolo che in quel momento passò con in mano una cassa di brugole, mi rispose: “semplice!” e aggiunse “orario si avvita, antiorario si svita!” E poi se ne andò fischiettando. Corsi a casa, ero sicuro, molto più veloce della tartaruga! Ma al mio arrivo la trovai lì, sul prato che brucava l’erba. Aspettai che venisse la notte e l’oscurità per celare la mia inquietudine e mi trovai di nuovo sul prato a brucare l’erba anch’io insieme ad uno stormo di vacche nere che si spintonavano. Era contraddittorio quello che sentivo, ma vero. Andai in cucina a cercare un po’ di vino delle canarie che fosse di mio gusto; “la piacevolezza non è il bello!” mi urlò enigmatico dalla finestra un uomo in ombra mentre guarda il cielo fuori in cortile. Mi svegliai di soprassalto in un bagno di sudore, “no! no è sudore”, biascicai agghiacciato, accorgendomi sbalordito di essere solamente un cervello in una vasca.
Dopo il classico appuntamento con l’ Orrore filosofico, oggi terminiamo con la logica predicativa. Tre. Due. Uno. Introduciamo la nozione di formula atomica: se t1, …, tn sono termini individuali e P una qualsiasi costante predicativa n-aria, allora una formula del tipo:
P(t1, …, tn)
È una formula atomica. Ora è il momento di definire le formule atomiche.

(B) La base della definizione è che ogni formula atomica è una formula ben formata.
(P) Il passo conterrà tutte le clausole già introdotte per il linguaggio enunciativo, che definiscono i composti verofunzionali:
1) Se α è una formula ben formata, ¬α è una formula ben formata;
2) Se α e β sono formule ben formate, (α⋀β) è una formula ben formata;
3) Se α e β sono formule ben formate, (α⋁β) è una formula ben formata;
4) Se α e β sono formule ben formate, (α→β) è una formula ben formata;
5) Se α e β sono formule ben formate, (α↔β) è una formula ben formata.
Inoltre vi sono altre due clausole:
6) Se α è una formula ben formata, e x una variabile individuale, allora ∀xα è una formula ben formata.
7)  Se α è una formula ben formata, e x una variabile individuale, allora ∃xα è una formula ben formata.

(C) La chiusura: solo quanto specificato in (B) e (P) è una formula ben formula.
Per quanto riguarda le nozioni di campo e subordinazione di un connettivo, restano tali e quali a quelle del linguaggio enunciativo. Per quanto riguarda il campo (dell’occorrenza) di un quantificatore, possiamo considerarlo come la più piccola formula ben formata su cui esso agisce (o che esso quantifica). Assumiamo inoltre che i quantificatori leghino più forte della negazione e più di ogni connettivo binario.
Le formule del linguaggio enunciativo non perdono la loro validità in quello predicativo ma rimangono un caso particolare di quest’ultimo. Si può dire quindi che il linguaggio predicativo è una estensione del linguaggio enunciativo, che contempla cioè una quantità maggiore di variabili e formalizzazioni ma senza eliminare niente del livello precedente.

Ora alcune precisazioni riguardo ai quantificatori. Una variabile può essere libera o vincolata a seconda che sia o meno abbinata ad un quantificatore. E una stessa variabile può comparire come libera o vincolata in occorrenze diverse in una stessa formula.
Una formula che contiene almeno una variabile con una occorrenza libera è detta aperta. Una formula che non contiene alcuna occorrenza di alcuna variabile libera o che non contiene variabili è detta chiusa o un enunciato.
Anche i termini individuali possono contenere variabili, un termine privo di variabili è detto un termine chiuso o un nome, mentre un termine individuale che contiene variabili viene detto un termine aperto o una  forma nominale. Un esempio di termine aperto può essere “c(x)” dove “c” esprime la relazione “essere il cane di”.

I punti 6 e 7 della definizione permettono un’altra sciocchezzuola e cioè la quantificazione muta. Questa si ha quando il quantificatore agisce su di una variabile che non occorre e o che non occorre libera in una formula. Sarete lieti di sapere che questo tipo di operazione non influisce minimamente sulla formula! Un esempio: “∀x α↔α”.

Un’ultima operazione che può essere eseguita sulle formule è quella di sostituzione. Come scrive il buon Berto:

“dati una qualunque formula α , una qualunque variabile x, e un qualunque termine t, si dice sostituzione di x con t in α la formula ottenuta rimpiazzando uniformemente tutte le occorrenze libere della variabile in α con t; tale formula si indicherà con «α[x/t]»”

Riporto anche l’esempio di Berto, consideriamo “m” come una costante individuale, prendiamo la formula:
F(x)↔¬¬F(x)
Ci inseriamo “m” come sostituzione e troveremo:
F(m)↔¬¬F(m)

Lapalissiano!

Cerchiamo di non andare a farci male e di non sostituire “x” con “y” in una formula in cui compaiono sia “x” che “y”, poiché ci ritroveremo con sole “y” e questo darebbe luogo a degli errori. Per essere precisi Berto scrive:

“Diciamo allora che un termine t è libero per x (ossia, sostituibile ad x) in una qualche formula α, se ogni occorrenza libera di x nella formula è tale che nessuna sottoformula di α che la contenga comincia con un quantificatore, che vincola una delle variabili occorrenti nel (o in cui consiste il) termine t. α[x/t] sarà una sostituzione corretta solo se t è libero in x.”

Come dirlo diversamente? Forse con qualcosa tipo: se non volete diventare stupidi cercate di non sostituire introducendo termini già presenti nella formula di partenza, e non riutilizzate per sostituzioni differenti un’unica lettera! Fate i bravi e andate a letto presto!

Prima dei titoli di coda vi ricordo a titolo riassuntivo che l’operazione di traduzione dal linguaggio naturale al linguaggio logico richiede pratica e che questa operazione non è univoca ma può presentare varie soluzioni, differenti a seconda degli scopi che vogliamo ottenere con la formalizzazione.

Nel prossimo appuntamento con l’Orrore Filosofico conosceremo la storia di Mary: fisica che studia per tutta la vita in un laboratorio grigio, sola, per anni e anni e studia il blu: i grafici e le lunghezze d’onda, i neuroni che reagiscono alla percezione del blu. Poi un giorno esce e incontra l’amore, il mondo a colori, gli alberi in fiore, gli uccelli che cantano… Ma una notte, parcheggiando l’auto in un vicolo scuro scopre che era inutile tutto quello che aveva studiato nel suo laboratorio: davanti a lei c’è il blu.


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2 comments

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      ciao Alberto,

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