LOGICA FORMALE 37: PROPRIETA’ DEI QUANTIFICATORI
LOGICA FORMALE 37: PROPRIETA’ DEI QUANTIFICATORI
Set 05[ad#Ret Big]
Visioneremo alcune proprietà dei quantificatori, in accordo con la strato-multimega-combo-typhon-retrosondante-annichilente manovra finanziaria bipartisan, anche questo post, per solidarietà, sarà esposto in forma ridotta. Ma già vi prometto che mi farò perdonare scrivendo di più la prossima volta!
Vi sono in primo luogo degli schemi che concernono lo scambio dei quantificatori e sono:
∀x∀yα ᅡ ∀y∀xα
∃x∃yα ᅡ ∃y∃xα
Questi due schemi sono autoevidenti e ci dicono che l’ordine dei quantificatori omogenei è indifferente. Se invece consideriamo coppie di quantificatori eterogenei non otteniamo lo stesso risultato, infatti abbiamo:
∃y∀xα ᅡ ∀x∃yα
Non vale però lo schema inverso per ogni “α”:
∀x∃yα ᅡ ∃y∀xα
Infatti come ci ricorda Berto col suo esempio, dal fatto che “tutti hanno una madre” non segue che “un qualcuno specifico è madre di tutti allo stesso tempo”. Le inversioni per cui l’inversione è valida si dicono uniformabili.
Ora consideriamo le due leggi del cambio alfabetico in cui “y” non è libera rispettivamente in “∀xα” e “∃xα”, quindi abbiamo i teoremi:
ᅡ ∀xα ↔ ∀y(α[x/y])
ᅡ ∃xα ↔ ∃y(α[x/y])
Ricordandoci appunto che nel primo caso “y” non è libera in “∀xα” e nel secondo non è libera in “∃xα”. Questi due teoremi mostrano l’intercambiabilità delle variabili vincolate dove “∀xF(x)” e “∀yF(y)” dicono la stessa cosa cioè che tutto ha la proprietà “F”. Come scrive Berto:
La restrizione per cui y non deve essere libera in ∀xα e ∃xα garantisce proprio questo: ad esempio, da ∃xM(x,y), in cui y è libera, non si passa a ∃yM(y,y) (dal fatto che qualcuno ha una madre non segue che qualcuno sia madre di se stesso).
Come sempre mi rivolgo agli sparuti lettori che mi leggono nel futuro fra i resti frammentari della nostra civiltà sepolta dal fallout nucleare o ai rettiliani dalla dimesione X ma anche a voi umani che se avete qualcosa da obiettare sul post potete fare una class-action, raccogliere millemila firme, andare al parlamento europeo e costringerlo ad erogare una mozione di bombardamento del blog; oppure; postare nei commenti…