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LOGICA FORMALE 32: INTRODUZIONE DI TEOREMA

LOGICA FORMALE 32: INTRODUZIONE DI TEOREMA

Lug 11

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Oggi, brindo alla vita che costringendomi a studiare elettronica secondo l’equazione “Hegel+elettronica=kabooooooom!!!!”, mi fa notare come le porte logiche dei circuiti elettronici rispondano, guardacaso, a leggi molto simili ai temi trattati finora nei miei post. Finalmente, dopo molta pesantezza trattiamo una formuletta veloce che però ci dà una visione d’insieme più ampia. Si tratta della regola per l’introduzione di teorema che abbrevieremo con “IT“. Questa è una formula derivata della deduzione naturale e non fondamentale o primitiva poichè questa regola non aggiunge nulla di nuovo e non potenzia la capacità inferenziale delle regole finora esposte, ma semplicemente facilita e velocizza il calcolo permettendo di eliminare dei passaggi. E’ quindi una regola fondamentalmente capitalistica, che aumente la fattività anche nel vostro ufficio, che piacerebbe molto al vostro capo! Purtroppo, il vostro capo non sa niente di deduzione naturale…

Questa regola, come dice il nome, permette di introdurre in qualsiasi passo della dimostrazione di una formula un teorema già dimostrato. Nella riga delle assunzioni non scriveremo niente poichè l’introduzione di un teorema già dimostrato non dipende da alcuna assunzione. Per portare una applicazione di questa semplice regola mi rifarò ancora all’esempio che Berto porta a riguardo nel suo libro. Mi accusate di pigrizia? Fa niente, sono troppo apatico per contraddirvi.

Pᅡ(P⋀Q)⋁(P⋀¬Q)

(1)    1          P                                       Ass
(2)                 Q⋁¬Q                            IT α⋁¬α, con α=Q
(3)    3           Q                                     Ass
(4)    1, 3       P⋀Q                               1, 3, I⋀
(5)    1, 3       (P⋀Q)⋁(P⋀¬Q)         4, I⋁
(6)    6             ¬Q                                 Ass
(7)    1, 6        P⋀¬Q                          1, 6, I⋀
(8)    1, 6        (P⋀Q)⋁(P⋀¬Q)       7, I⋀
(9)    1             (P⋀Q)⋁(P⋀¬Q)       2, 3, 4, 5, 6, 8, E⋁

Alla prima riga si assume l’unica premessa. Successivamente alla riga “2” si introduce un teorema già dimostrato che in questo caso è una istanza della legge del terzo escluso, questo in vista di applicare “E⋁” la quale, come vi ricorderete, abbisogna di ben cinque premesse per essere utilizzata. La riga è ottenuta con “I⋀”, anche se la disgiunzione ottenuta in questo modo è una conclusione più debole delle premesse. Però!, introducendo il teorema alla riga “2”, e tramite i passaggi successivi, otteniamo le premesse per l’applicazione di “E⋁” alla riga “9”, la quale scaricando le due premesse, quelle alla riga “c” e “d” delle sue assunzioni, risulta dipendere solo da “1” cioè dall’unica assunzione del nostro ragionamento.

Abbiamo così visto come può essere formulata una strategia di dimostrazione. Il ragionamento sarebbe risultato molto più lungo e laborioso se avessimo dovuto dimostrare anche la riga “2” la quale invece viene già data come assodata. In questo modo possiamo rilevare qual è l’utilità del conoscere i vari teoremi.

Chi può spiegarmi i trasformatori?


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