LOGICA FORMALE 28: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELLA NEGAZIONE

LOGICA FORMALE 28: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELLA NEGAZIONE

Giu 13

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Come avrete visto sono stato costretto per esigenze dettate dal mio personal trainer a deporre il mio compianto nickname e ad assumere il mio tedioso e poco umoristico nome di battesimo. Ora che ho appeso al chiodo la mia calzamaglia color logica classica mi sento meno attraente ma, a detta del mio personal trainer, questo mi farà smaltire almeno tre centimetri di girovita! Anche dormendo, ha detto, se dormo al posto di mangiare.

Oggi trattiamo, nella deduzione naturale, della  regola per l’eliminazione della negazione. Il problema è che differenti concezioni della negazione hanno prodotto non solo regole diverse ma concezioni logiche differenti, come potrebbero per esempio essere le speculazione di logica modale proposte da Martina in altri post qui su filosofiablog.it.

Però in questo solitario spazio di sparuti stoici lettori dall’animo impavido ci atterremo alla logica classica; per voi (con affetto), dovrò esporre ben tre regole riguardo alla negazione. Ma andiamo con ordine…

La prima regola che trattiamo per la negazione è quella di eliminazione della negazione: “E¬”. Per esporre questa regola dovremmo specificare il significato di contraddizione già introdotto quando parlavamo di che cos’è una legge del pensiero per introdurre le tavole di verità, e chi meglio del buon Berto può spiegare questo passaggio?

[…] una contraddizione non è solo una congiunzione in cui un congiunto è la negazione dell’altro, bensì anche una coppia di formule fra loro contraddittorie, ossia di cui l’una nega l’altra.

La regola di eliminazione della negazione così intesa ci dice che da una contraddizione si può dedurre qualsiasi formula. Lo schema di questa regola è il seguente:

α,¬α / β   (E¬)

Alle premesse, separate dalla virgola, viene applicata la regola di eliminazione della negazione. La conclusione, separata dalle premessa dalla sbarretta, dipenderà da tutte le assunzioni da cui dipendono le premesse.
Seguiamo l’esempio di Berto e prendiamo in esame una forma d’argomento la cui dimostrazione implica l’utilizzo di “E¬”:

¬α ᅡ α→β

1)    1         ¬α             Ass
2)    2         α               Ass
3)    1, 2    β               1, 2, E¬
4)    1         α→β        2, 3, I→

Abbiamo così illustrato il secondo paradosso dell’implicazione materiale. Per chi non si ricorda, il primo paradosso mostra come dalla conclusione vera di un condizionale si possa inferire un qualsiasi antecedente sia esso vero o falso. Questo secondo paradosso esprime invece come da un antecedente falso si possa derivare qualunque cosa ad esempio: “il mio cane non è un licantropo, quindi se il mio cane fosse un licantropo allora sarebbe comparso in vecchi film in bianco e nero”. Questi due paradossi vengono anche chiamati paradosso positivo e paradosso negativo dell’implicazione materiale.
Il teorema correlato a questo argomento con la solita applicazione di “I→” è il seguente:

LEGGE DI DUNS SCOTO O DELLO PSEUDO SCOTO

ᅡ  ¬α→α→β

Così chiamata perché si pensava avesse i natali presso Duns Scoto, ma poi ripensandoci si è visto che forse è dovuta ad un autore di scuola scotiana.
Utilizzando il teorema di importazione già visto nei post passati possiamo avere una nuova formulazione forse più intellegibile di come da una contraddizione si possa implicare qualsiasi formula. Abbiamo quindi:

ᅡ α ⋀ ¬α → β

Per il paradosso positivo dell’implicazione materiale i medievali usavano l’espressione verum ex quolibet. Il paradosso negativo dell’implicazione materiale era invece indicato con l’espressione ex falso quolibet; che significa praticamente che dal falso segue qualsiasi cosa. Come scrive Berto:

La proprietà di implicare tutto è stata infatti spesso avvertita come tipica dell’assurdo, e la contraddizione è il caso esemplare di assurdo. Per la logica classica, la risposta alla domanda: «cosa succede quando la spada cui nessuno può resistere incontra lo scudo che nessuna spada può scalfire?», è: «succede tutto!».

Chiusura col botto è?
Ma lasciamoci con un ultimo teorema che dimostra l’equipollenza di tutti i finali di film d’azione americani e cioè che ogni contraddizione è equivalente ad ogni altra contraddizione:

ᅡ α ⋀ ¬α ↔ β ⋀ ¬β

Siate felici!