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LOGICA FORMALE 25: INTRODUZIONE DELLA CONGIUNZIONE

LOGICA FORMALE 25: INTRODUZIONE DELLA CONGIUNZIONE

Mag 23

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Ecco! Lo sapevo che doveva capitare prima o poi; ma anche prima e poi… Insomma, vi ho detto troppo la volta scorsa così mi sono un po’ mangiato il post di stasera. Che non è comunque un male per tutto, perché così anche io posso andare presto a mangiare qualcosa, perché mangiare un po’ di post è poco saziante. Dobbiamo stasera trattare la regola per l’introduzione della congiunzione, cioè “I⋀” che consente, date due formule qualunque α e β, di derivare la loro congiunzione cioè “α ⋀ β”. Schematizzata viene così:

α, β / α ⋀ β (I⋀)

dove la barretta “/” è sempre il simbolo che separa le premesse dalla conclusione. Se ricordate la tavola di verità della congiunzione (ve la ricordate vero? Altrimenti scaricate gratis il primo quaderno di filosofiablog.it dalla barra laterale della homepage e avrete tutto il corso di logica a portata di mano!)… Se ricordate la tavola di verità della congiunzione saprete senza indugio che la congiunzione è vera solo se sono veri entrambi i suoi congiunti, altrimenti è falsa. Quindi la dimostrazione di “I⋀” è anche abbastanza pane al pane vino al vino: se due formule sono corrette allora lo sarà anche la loro congiunzione.
Seguiamo quindi questa dimostrazione come esempio dell’uso di “I⋀”:

α ⋀ β → ɣ ᅡ α → (β → ɣ)

(1)   1                α ⋀ β → ɣ            Ass
(2)   2               α                             Ass
(3)   3               β                             Ass
(4)   2, 3          α ⋀ β                  2, 3, I⋀
(5)   1, 2, 3      ɣ                          1, 4, E→
(6)   1, 2           β → ɣ                 3, 5, I→
(7)   1        α → (β → ɣ)            2, 6, I→

Ma per il logico che non deve chiedere mai, applichiamo un altro passo di “I→” per scaricare l’ultima assunzione della riga sette e otteniamo un nuovo teorema:

LEGGE DI ESPORTAZIONE

ᅡ(α ⋀ β → ɣ) → (α → (β → ɣ))

Adesso che abbiamo introdotto “I⋀” ecco che prorompe la parte che ho già anticipato negli ultimi post, cioè la dimostrazione dello schema:

α ᅡ β → α

Che è praticamente lo schema del cosiddetto paradosso dell’implicazione materiale, il quale ci dice che qualsiasi formula implica “α”. Altrimenti detto: se una qualsiasi formula “α” è vera, allora qualsiasi formula “β” può essere considerata come l’antecedente di un condizionale materiale di cui “α” è la conclusione. In questo caso i logici medievali dicevano verum ex quolibet. La dimostrazione è la seguente:

(1)       1           α            Ass
(2)      2            β            Ass
(3)      1, 2     α⋀β       1, 2, I⋀
(4)      1, 2        α           3, E⋀
(5)      1          β→α       2, 4, I→

Dovete sapere … che anche i logici mediaevali, il lunedì sera … erano stanchi.


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