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LOGICA FORMALE, APPUNTAMENTO 16: QUANTIFICATORI COMBINATI ED INTERDEFINITI

LOGICA FORMALE, APPUNTAMENTO 16: QUANTIFICATORI COMBINATI ED INTERDEFINITI

Mar 21

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E so che è brutto ma ormai le formule si moltiplicano esponenzialmente, su più piani, senza pietà! Deva (il mio cane) dice che abbaio alla luna ed è convinta che io stia impazzendo cercando la luce in fondo alla logica, un senso in questo universo di caos.

Sapete che possiamo esprimere tutto ciò che si dice con ciascuno dei quantificatori (esistenziale e universale) attraverso l’uso dell’altro quantificatore e della negazione?

Beh è così!

Se (ci ricordiamo l’ultimo post sul quadrato dell’opposizione e) vogliamo dire che “ogni cosa ha la proprietà F”, questo enunciato equivale a dire “non vi è alcuna cosa che non abbia F”, la formalizzazione di questa considerazione è la seguente:

xF(x) ↔ ¬∃xF(x)

All’inverso affermiamo: “nessuna cosa ha la proprietà F” che, come ricorda Berto, è più semplicemente espressa con: “per ogni x, x non ha F“. Questa ultima affermazione equivale a dire che “non esiste alcuna cosa che abbia F“. La formalizzazione sarà allora la seguente:

x¬F(x) ↔ ¬∃xF(x)

Considerando invece l’enunciato particolare: “qualcosa ha la proprietà F“; questo sarà equivalente a: “non si dà il caso che nessuna cosa abbia F“. La formalizzazione sarà scritta come segue:

xF(x) ↔ ¬∀x¬F(x)

All’inverso affermare che “qualcosa non ha F” equivale a dire: “non si dà il caso che tutto abbia F“. Scriveremo allora:

x¬F(x) ↔ ¬∀xF(x)

Bene! Abbiamo visto che i quantificatori sono interdefinibili, ma essi sono anche combinabili e possono cioè essere utilizzati entrambi nella stessa formula. Ad esempio formalizzando l’enunciato “ogni persona ha una madre” otteniamo la seguente striscia di simboletti:

xyM(x,y)

Berto sottolinea come questa espressione dimostri la rilevanza dell’ordine di successione dei quantificatori nella formulazione. Infatti se volendo esprimere il medesimo enunciato scrivessimo:

yxM(x,y)

Commetteremmo un errore! Poiché quest’ultima formulazione si traduce con: “esiste un y tale che per ogni x, y è la madre di x” o altresì detto “esiste una madre di tutti”, o ancora, che tutti abbiamo una unica madre. Ehm, questa volta l’esempio non è mio ma del nostro sponsor…

E se non altro questo tipo di notazione simbolica ha il pregio di eliminare alcune ambiguità del linguaggio ordinario. Riporto quindi il famoso esempio di Peter Geach:

“Ogni ragazzo ama una certa ragazza”

Schematizzerò l’ambiguità grazie all’utilizzo di una tabella, la seguente:

So che la tabella può sembrare incentrata sui soliti cliché e che potrebbe essere vista come discriminante, infatti anche secondo me Brad Pitt ha troppi capelli e troppa poca panza, ma cerco di farmene una ragione.

Di fatto la notazione del linguaggio predicativo elimina l’ambiguità fra “1” e “2”.

Se infatti abbiamo l’enunciato “ogni ragazzo ama una certa ragazza” e vogliamo dire che “per ogni ragazzo vi è una specifica ragazza che il ragazzo ama (non per forza la stessa per ogni ragazzo)” allora scriveremo:

x(R(x) → ∃y(F(y) ⋀ A(x,y)))

Dove “R” sta per la proprietà “essere un ragazzo”, “F” per la proprietà “essere una ragazza” e “A” per la relazione “ama”. Se invece abbiamo l’enunciato “ogni ragazzo ama una certa ragazza” e vogliamo dire che “per ogni ragazzo vi è una sola ragazza che è amata da tutti i ragazzi” allora scriverò:

x(F(x) ⋀ ∀y(R(y) → A(y,x)))

Il secondo esempio proposto da Berto invece è ancora più bello e sicuramente, come sempre, ha ucciso molti dei miei neuroni migliori nel cercare di completarlo inizialmente da solo:

“Tutti i tifosi rispettano un giocatore leale”

Possiamo anche qui avere varie interpretazioni di questo enunciato: la prima (1) consiste nel ritenere che se x è un tifoso allora x rispetta un qualche giocatore leale; la seconda (2) interpretazione può essere che “per ogni x, se x è tifoso allora rispetta ogni giocatore leale”. Utilizziamo “T” per la proprietà di “essere tifoso”, “L” per la proprietà “essere un giocatore leale” e “R” per la relazione di rispetto.

La prima interpretazione verrà resa come segue:

1) ∀x(T(x) → ∃y(L(y) ⋀ R(x,y)))

La seconda interpretazione verrà formulata invece così:

2) ∀x(T(x) → ∀y(L(y) → R(x,y)))

Questa sera vi lascio con questo post breve su cui riflettere e ognuno ami chi gli aggrada nel solo vincolo della corrispettività! Alla prossima!


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