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LOGICA FORMALE: TAVOLE DI VERITA’ (APPUNTAMENTO 8)

LOGICA FORMALE: TAVOLE DI VERITA’ (APPUNTAMENTO 8)

Gen 24

E dopo il decreto attuativo centundicimiladuettantonove votato con trattaquattordici voti a favore e settantientismila voti contro, più undiciottantatre astenuti è stato deciso di diminuire di almeno la metà i miei post penalizzandomi altrimenti con grosse randellate effettuate dal legno del mortifero tasso. Quindi oggi parliamo, brevemente, delle tavole di verità che quando le ho viste la prima volta all’università mi sono francamente spaventato, e voi se ve la sentite spaventatevi pure, ma brevemente. Per la bellezza e la semplicità delle tavole suddette dobbiamo ringraziare ancora una volta il caro vecchio Wittgenstein che ne ha introdotto il metodo nella sua opera: il Tractatus logico-philosophicus. Grazie a questo metodo possiamo stabilire meccanicamente la correttezza o meno di qualsiasi inferenza che sia possibile formalizzare nel linguaggio della logica classica che abbiamo illustrato nei precedenti post.
Utilizziamo degli ulteriori simboli nuovi che esulano di fatto dall’alfabeto simbolico della logica predicativa ma che sono molto semplici. Abbiamo già parlato delle premesse e della conclusione di un ragionamento nei primi post; assumiamo ora che le premesse possano essere scritte in un qualsiasi ordine separate da una virgola “,”, mentre la conclusione sia posta alla fine del ragionamento separata dalle premesse da una barretta “/”. Tutto qui. Per ora.
Diciamo adesso che un argomento si può esprimere come una sequenza finita di formule intese come premesse ed espresse da metavariabili (le quali in questo punto indichiamo con α1, α2, αn) e queste le intervalliamo con delle virgole. Alla fine delle premesse mettiamo la sbarretta “/” e introduciamo una sola conclusione che per il momento esprimeremo con β. La formula generale con cui scrivere simbolicamente un argomento sarà quindi:

α1, … , αn / β

Per capire ora qual è lo scopo delle tavole di verità riprendiamo quanto già detto e ascoltiamo ancora una volta la voce scritta di Berto:

Un ragionamento è corretto se e solo se non può darsi il caso che tutte le sue premesse siano vere, e la sua conclusione falsa. Mediante una tavola di verità, possiamo dunque assegnare il valore vero o il valore falso a ciascuna delle variabili enunciative che compongono le premesse e la conclusione dei nostri schemi d’argomento formalizzati. Eseguendo poi quest’assegnazione per ogni possibile combinazione di valori di verità delle variabili, […].

Sembra complesso, ma ci arriviamo un po’ per volta, una volta fatto quanto sopra e cioè provate tutte le combinazioni di verità delle variabili presenti nel ragionamento ci ritroveremo di fronte a due casi:

1- Se si presenta anche solo una riga del nostro schema in cui le assegnazioni di verità alle premesse risultano vere e la conclusione falsa allora il nostro ragionamento sarà sicuramente errato.
2- Se invece per ogni assegnazione di verità che rende vere le premesse è vera anche la conclusione, allora lo schema sarà corretto. In questo caso possiamo anche dire di aver inquadrato la forma di un argomento, in cui non si dà il caso che partendo da premesse vere la conclusione sia falsa.

Naturalmente nelle tavole di verità utilizziamo delle metavariabili che sono simboli di simboli. I simboli più semplici rappresentano enunciati dichiarativi semplici, i quali possono essere legati da connettivi logici secondo le regole del linguaggio della logica formale classica spiegate nel post precedente. Ne deriviamo quindi che le tavole di verità non esprimo la correttezza di un particolare ragionamento, ma esprimono la forma di un ragionamento corretto o scorretto dove opportunamente e secondo le regole sin qui viste si possono inserire degli enunciati dichiarativi particolari (e loro aggregati tramite i connettivi logici) in luogo delle metavariabili.
Analizziamo quindi un esempio di ragionamento: il modus tollens, che per il momento consideriamo così,  semplicemente, col suo pomposo nome latino. Questo può essere espresso nella formula seguente:

P→Q, ¬Q / ¬P

Abbiamo le due premesse con due variabili enunciative P e Q con i loro connettivi logici, separate da una virgola “,”. E poi abbiamo lo conclusione col suo connettivo logico, separata dalle premesse da una barretta “/”. Un esempio becero del modus tollens è il seguente: “se studio logica piacerò alle donne, ma non piaccio alle donne, quindi significa che non ho studiato logica”; in ambito scientifico la cosa è un po’ più stringente: “se è un corpo allora ha una massa, ma non ha una massa, quindi non è un corpo”. La tavola di verità del modus tollens è la seguente:

La compilazione è presto fatta. Prepariamo una colonna per ognuna delle variabili enunciative in gioco, in questo caso sono due: P e Q. In queste due colonne inseriamo tutti i valori di verità con cui possono presentarsi le due variabili enunciative, e cioè tutte le combinazioni di vero e falso con cui P e Q possono presentarsi nel nostro argomento. Possono essere entrambe vere come nella prima riga, entrambe false come nell’ultima, oppure l’una vera e l’altra falsa come nei due casi centrali della colonna per un totale di quattro possibili combinazioni. Nel caso in cui avessimo avuto tre variabili enunciative la casistica sarebbe stata più vasta, con quattro avremmo avuto ancora più casi di combinazione e così via. A destra delle variabili enunciative riportiamo una colonna per ogni premessa del nostro argomento che è il modus ponens e quindi due colonne “P→Q” e “¬Q”. A questo punto riportiamo una colonna con la sbarretta “/” per indicare che le premesse sono terminate e che la prossima colonna a destra introduce la conclusione. Per compilare la colonna della prima premessa, che è un condizionale materiale, andiamo a prendere i post precedenti e guardiamo la matrice del condizionale, ci ricordiamo subito che il condizionale è falso solo nel caso in cui la premessa è vera e la conclusione falsa; quindi con i valori di verità delle due variabili enunciative espressi nelle prime due colonne completiamo la colonna in cui le due variabili sono connesse dal condizionale. Passiamo quindi alla seconda premessa cioè “¬Q”, guardiamo indietro nei post precedenti alla matrice delle negazione e vediamo che questa, la negazione, semplicemente inverte i valori di verità. Prendiamo quindi i valori di verità dalla colonna di Q e li invertiamo nella colonna di ¬Q. La colonna della conclusione presenta ancora una negazione la quale deve essere calcolata tenendo conto di P per formare ¬P.
Una volta completati gli inserimenti nella tabella ci accorgiamo che non vi è nessun caso (cioè nessuna riga della tabella) in cui le premesse siano vere e la conclusione risulti falsa. È quindi esaudito il requisito di correttezza logica secondo cui da premesse vere non può derivare una conclusione falsa e ci troviamo quindi di fronte ad un ragionamento corretto. In termini più specifici possiamo dire, con Berto, che:

la conclusione di un qualsiasi argomento che esemplifica questo schema è una conseguenza logica delle premesse.

Sono stato breve? Prima che mi raggiunga il randello di tasso devo scappare a compilare tavole di verità in altri mondi possibili.

Per rispondere al commento di un nostro lettore posto di seguito la tavola di verità da cui emerge che il modus tollens è una tautologia.

Nelle prime due colonne ho inserito le varie combinazioni possibili con entrambi i valori di verità (V e F) per le nostre due variabili enunciative. Terza e quarta colonna sono rispettivamente la negazione della prima e la negazione della seconda colonna. Quinta colonna è il risultato di un condizionale calcolato sulla prima e la seconda colonna e vediamo che il condizionale materiale è falso solo se la premessa è vera e la conclusione falsa (“se i maiali volano allora la terra è rotonda” è un esempio di condizionale materiale corretto). La penultima colonna, quella prima della conclusione a destra è il risultato di una congiunzione calcolata sui valori del condizionale della quinta colonna e sulla negazione della quarta, è vera solo se sono vere entrambe le premesse. L’ultima colonna, quella azzurra con la selezione di word, è un condizionale calcolato sui valori della sesta colonna e su quelli della terza. Capiamoci! Per calcolare la conclusione, colonna azzurra, va fatto un condizionale materiale che ha come primo termine i risultati della sesta colonna, la penultima; mentre come secondo termine del condizionale ci sono quelli della quarta colonna, cioè la negazione di Q. Ne risulta che si ha sempre come risultato il valore di verità “V”, cioè vero.

L’esempio: “se è giorno c’è luce, ma non c’è luce, quindi non è giorno” non è un esempio corretto perché si scambia la condizione necessaria per la condizione sufficiente. Infatti potrebbe anche essere che sia giorno e non ci sia luce perché sono in cantina a cercare una bottiglia di rosso. Perché ci sia luce non è necessario che sia giorno, potrei anche fare luce con una lampadina. Un esempio più calzante può essere “se manca la corrente allora la lampadina si spegne ma non manca la corrente, quindi la lampadina resta accesa “, e sì ho rubato questo esempio da un altro sito, ma io ne offrirò anche una spiegazione. Innanzitutto si noti come nel linguaggio naturale ho trovato più opportuno rendere la congiunzione fra le due premesse con un “ma” che dovrebbe rappresentare invece una disgiunzione, questo per ricordarsi di porre attenzione alla formalizzazione a partire dal linguaggio naturale. In secondo luogo e più precisamente tornando alla correttezza del nostro esempio: se la lampadina è accesa allora è necessario che ci sia la corrente (potrebbe anche esserci, per i più smaliziati, un forte campo magnetico che funzioni da induttore e crei un circolo di corrente nella lampadina, fatto sta che la corrente deve esserci). Ma un esempio più stringente, che può essere esemplificato nel ragionamento di un calcolatore non biologico è questo: “radice quadrata di nove è tre, ma il risultato che otteniamo dalla nostra operazione non è tre, quindi sicuramente non è radice quadrata di nove”. Questo ragionamento sarà vero per qualsiasi valore diverso da “3” perchè “3” viene negato nella formula, cioè ogni valore numerico che sia “non 3” (e non ditemi “1+1+1” perché è “=” a “3” e così ogni formulazione il cui risultato sia uguale a “3”) non sarà mai il risultato dell’operazione “radice quadrata di nove” e quindi l’affermazione sarà sempre vera.

Ci sono anche altre questioni sollevate dall’ultimo commento, più precisamente mi si chiede: ” la tautologia esprime solo la forma del ragionamento corretto? Allora il “ragionamento corretto” in un senso più ristretto (cioè tirando in ballo i contenuti) sarebbe quello in cui a P e Q corrispondono dei fatti di cui possiamo dire immediatamente se siano veri o falsi?”. Le rispose sono rispettivamente sì e sì. Però sono risposte richieste dalla teoria, cioè implicite negli assiomi e nei principi della logica formale, la loro dimostrazione non è invece così scontata! In primo luogo cosa sono i “fatti” e i “fatti immediatamente veri o falsi”, questione spinosa discussa dalla filosofia della scienza e non così evidente. Si ricordi il dibattito sulla teoreticità dell’osservazione o sull’esistenza del “dato”. I valori vero e falso poi servono ad avere un calcolo del tutto meccanico, puramente deduttivo, la logica formale non è induttiva. Viene così perso tutto il valore della gradualità, cioè le sfumature fra vero e falso, qualunque cosa esse siano. Vengono esclusi così anche ambiti completamente impermeabili al vero e al falso: “i miei sentimenti per te erano veri!”, i sentimenti che una persona prova privatamente e per di più al passato, sono veri o falsi? Ha ragione di essere questa domanda? La logica può darci molte soddisfazioni ma deve essere utilizzata nel suo ambito stabilito dai suoi principi, o forse anche bisogna dire che ad ogni ambito la sua logica e che abbiamo bisogno di logiche differenti, così ci sono la logica modale, la logica formale, la logica argomentativa, e così via.

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8 comments

  1. Nico

    O la tavola di verità è sbagliata, se la conclusione deve essere sempre vera, o non ho capito un tubo. Nel qual caso chiedo ulteriori lumi.

  2. Nico

    La formula corretta del modus tollens dovrebbe essere la seguente:
    [(P→Q )Λ¬Q ] → ¬P
    Solo così l’ultima colonna della tavola di verità restituisce V a ogni riga. Sbaglio?

    • Davide Boratto

      Cara/o Nico, intanto grazie che hai letto gli articoli sin qui! Io ti abbraccio e spero tu possa finalmente darmi un parere sul lavoro svolto e scovare eventuali magagne! Posso dirti che prima di finire di leggere il tuo commento ero già in Spagna con un passaporto falso sperando di far perdere le mie tracce… gli errori capitano… Poi però ci ho ripensato, il modus tollens è sì una tautologia, cioè un ragionamento valido in ogni mondo possibile per qualsiasi valore di verità che possano assumere le variabili eneunciative cioè “P” e “Q”. A maggior ragione il modus tollens è anche un ragionamento corretto cioè un ragionamento in cui avendo tutte premesse vere (“se P allora Q” e “non Q” in questo caso) non deriva mai una conclusione falsa. Quello che è espresso nella tabella è che il modus tollens è un ragionamento corretto, nulla toglie che sia anche tautologia se si estende la tavola di verità considerando le variabili enunciative e non le premesse.
      Spero di essere stato di aiuto, grazie di avermi permesso di specificare questo punto che non avevo sufficientemente svolto.

  3. Nico

    Intanto faccio i complimenti a tutta la Redazione per il benemerito sito e a te in particolare per questi post che trovo utili e stimolanti. Avrai capito che con la logica formale sono alle prime armi, devi avere pazienza. Veniamo a bomba. Probabilmente mi sfugge qualche passaggio. Ad ogni modo tu dici: “Quello che è espresso nella tabella è che il modus tollens è un ragionamento corretto”. Ma a me sembra che la tabella esprima solo i valori di verità che possono assumere le variabili enunciative e l’implicazione rispetto ai valori di verità di P, Q e non Q e non la correttezza del ragionamento. Sta a noi poi assegnare alle premesse (cioè a P, Q e non Q) diversi valori di verità e fare i calcoli, sapendo che solo se P, Q e non Q sono vere, sarà vero anche non P. L’equivoco nasce forse dal fatto che nella quinta colonna della tabella hai indicato la barretta, come se la sesta colonna costituisse il risultato del calcolo delle colonne precedenti, ma, lo hai spiegato tu stesso, i valori di verità della sesta colonna (non P) sono semplicemente l’opposto dei valori di verità assegnati a P nella prima colonna.
    La tautologia è “ un ragionamento valido in ogni mondo possibile per qualsiasi valore di verità che possano assumere le variabili enunciative cioè “P” e “Q” “. Il che significa forse che la tautologia esprime solo la forma del ragionamento corretto? Allora il “ragionamento corretto” in un senso più ristretto (cioè tirando in ballo i contenuti) sarebbe quello in cui a P e Q corrispondono dei fatti di cui possiamo dire immediatamente se siano veri o falsi? P.es. supponendo che in questo momento sia giorno e io dica “se è giorno c’è luce, ma non c’è luce, dunque non è giorno” , da un punto di vista formale il ragionamento è corretto (è una tautologia) ma, se tiriamo in ballo anche la corrispondenza ai fatti, esso è sbagliato perché la premessa “non c’è luce” in questo preciso momento è falsa mentre, come tu giustamente dici, il ragionamento corretto è quello “ in cui avendo tutte premesse vere … non deriva mai una conclusione falsa” In questo caso dunque, affinché il ragionamento diventi vero, devo avere pazienza fino a stanotte! Insomma cosa si intende per verità delle premesse? La verità dei nessi logici tra gli enunciati o la corrispondenza ai fatti di questi stessi enunciati o l’una e l’altra cosa?
    Se confermi la correttezza del mio ragionamento ti sarò riconoscente, se me ne mostri la “fallacia” ti sarò ancora più riconoscente. Un saluto a te e a Deva.

    • Davide Boratto

      Ciao! Ho aggiunto una appendice al post in questione, leggila, se ho fatto peggio dimmelo e se manca qualcosa anche. Spero di esserti stato di aiuto!

  4. Nico

    Ciao e grazie della pazienza dimostrata. Equivoco chiarito. Nel frattempo, spulciando qua e là su internet, mi sono familiarizzato un po’ di più con la logica formale. Tuttavia mi resta ancora un dubbio: l’esempio (preso da Wikipedia) “se è giorno c’è luce, ma non c’è luce dunque non è giorno” è traducibile nella formula del modus tollens: [(p q) ∧ ¬ q] ¬p . La quale però non è scorretta. Scorrette invece sono le seguenti formule [(p q) ∧ ¬ p] ¬q (fallacia della negazione dell’antecedente) e [(p q) ∧ q] p (fallacia dell’affermazione del conseguente). Ora gli esempi che fai tu sono chiarissimi: tuttavia il fatto che, affinché ci sia buio, non è necessario che sia giorno (posso andare in cantina) e, d’altra parte, se non è giorno posso sempre accendere la luce elettrica, non sembra turbare minimamente la correttezza formale della formula. Ho l’impressione sgradevole che ci sia un intreccio inestricabile tra aspetto empirico ed aspetto formale: quanto più cerco di chiarire con esempi empirici la correttezza delle formule logiche, tanto più mi trovo in imbarazzo, e quanto più cerco di “depurare” le formule dagli aspetti empirici tanto più difficile risulta la loro comprensione; o meglio: mi sembra di girare a vuoto, di parlare di nulla.

    • Davide Boratto

      Ciao! Scusa per il ritardo con cui ti rispondo, chiedo perdono! Allora, per quanto riguarda la nostra questione, temo con i miei esempi di aver complicato le cose. In realtà ho scelto degli esempi errati. Tieni buono quello che c’è scritto su Wikipedia ma leggi anche quello che scrivo qui sotto. Ci ricordiamo che a questo punto della logica stiamo considerando enunciati verofunzionali cioè tali che possano assumere due valori di verità: quindi o quando è giorno c’è luce o quando è giorno non c’è luce. Nel post sulla logica formale numero 6: “i connettivi logici” scrivevo che: “La tavola di verità [del condizionale materiale, dove si vede che il condizionale è falso solo se l’antecedente è vero e il conseguente falso] descrive il condizionale materiale il quale, nella formalizzazione della logica classica, non tiene conto di implicazioni semantiche, causali, intenzionali. Il condizionale materiale esprime quel tratto della condizionalità che intercorre fra due enunciati “P” e “Q” per cui ne deriva che risulta falso solo se l’antecedente è vero e il conseguente falso.” E poi anche: “Il condizionale materiale esprime la nozione di condizione sufficiente“, non è quest’ultima considerazione però una regola ma tienila presente come se fosse un’indicazione generale. Quindi se noi ci accordiamo sul fatto che quando è giorno allora c’è luce e che perché ci sia luce è sufficiente che sia giorno, stabiliamo così una determinata concezione del mondo e una ben determinata interpretazione dei fatti, (fra l’altro necessaria perché il discorso prosegua fra più interlocutori) allora l’esempio di Wikipedia è vero. Eliminiamo quindi le possibilità che sia giorno e non ci sia luce perché il cielo è coperto, oppure noi siamo in una cantina, o perché è arrivato il fallout nucleare, o magari perché c’è un’eclissi. Restando però che il condizionale materiale non esprime una causalità di qualche tipo ma è un mero calcolo, come lo è una addizione o una sottrazione, questo non sarà mai inficiato dai fatti; nei fatti potremo renderci conto di aver sbagliato a contare le mele ma non che l’operazione addizione in sé è scorretta, questo dipende dalla nostra teoria e aprirebbe un discorso molto più lungo. Queste inoltre sono le basi della logica, difficilmente riescono a contenere la complessità del nostro ambito di esperienza, Bisogna avere pazienza, uno studio approfondito della logica va ben oltre queste poche nozioni, gli esempi che facciamo per il momento devono essere il più semplici possibili e a volte potrebbero esserci dei fraintendimenti.
      Spero di non essermi impelagato ulteriormente e di esserti stato di aiuto. Comunque sono qui!

  5. Nico

    Sei stato chiarissimo. Ora, compatibilmente con il poco tempo a mia disposizione, non mi resta che continuare a leggere i tuoi post fino in fondo e a romperti di nuovo le scatole se avrò ancora qualche dubbio dilettantesco. Intanto di ringrazio per la disponibilità e la cortesia dimostrate.

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