LOGICA FORMALE 26: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELLA DISGIUNZIONE

LOGICA FORMALE 26: REGOLA DI ELIMINAZIONE DELLA DISGIUNZIONE

Mag 30

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Oggi ci affaccendiamo sulla legge di eliminazione della disgiunzione che Berto introduce così:

La regola di eliminazione della disgiunzione (abbreviata in «E⋁») è probabilmente la più complessa e la meno intuitiva fra le regole che governano i connettivi nel calcolo enunciativo.

Credo che già questo basterebbe a farci desistere dalla lettura del post, e a me personalmente dallo scriverlo.

Ma quello è il mio cane che mi mostra il guinzaglio? Vuol dire che mi vede inquieto e vuole portarmi a spasso…

LOGICA FORMALE 27, REGOLA DI ELIMINAZIONE DELLA DISGIUNZIONE
La regola di eliminazione della disgiunzione, “E⋁”, che per alcuni può sembrare controintuitiva e difficile, in realtà è lineare e piacevole! Se riprendiamo in mano la tavola di verità della disgiunzione inclusiva, allora noteremo che la disgiunzione è vera se almeno uno dei due congiunti è vero. Quindi se abbiamo una conclusione “ɣ” che deriva da “α” e la medesima conclusione “ɣ” che deriva da “β”, a maggior ragione “ɣ” deriverà da “α ⋁ β”. Dove “α”, “β”, “ɣ” sono sempre metavariabili cioè simboli che stanno per formule. Questo tipo di ragionamento è anche chiamato dilemma costruttivo.
La regola “E⋁” si articola in cinque passi, o meglio: cinque premesse. (1) La prima è la riga in cui compare la disgiunzione “α ⋁ β” da cui dobbiamo ricavare la conclusione “ɣ”. (2) Nella seconda premessa si assume il primo disgiunto “α”. (3) Nella terza premessa si deriva la conclusione “ɣ” dal disgiunto “α”. (4) Nella quarta assumiamo il secondo disgiunto “β”. (5) Nell’ultima premessa deriviamo la conclusione “ɣ” dal secondo disgiunto “β”.
Questo tipo di procedimento permette di scaricare due premesse ovvero la “2” e la “4”, cioè quelle in cui assumiamo “α” e “β”, questo poiché abbiamo visto che la conclusion segue dalla disgiunzione stessa e non da uno dei suoi due disgiunti.
Analizziamo quindi il seguente schema d’argomento per esplicitare quanto detto sinora:

P → R, Q → R ᅡ P ⋁ Q → R

(1)    1             P→R                  Ass
(2)    2             Q→R                 Ass
(3)    3             P⋁Q                  Ass
(4)    4             P                        Ass
(5)    1, 4         R                       1, 4, E→
(6)    6             Q                       Ass
(7)    2, 6         R                      2, 6, E→
(8)    1, 2, 3     R                       3, 4, 5, 6, 7, E⋁
(9)    1, 2         P⋁Q→R             3, 8, I→

Allora, assuminamo le due premesse dello schema d’argomento e quindi assumiamo anche l’antecedente del condizionale che forma la conclusione del nostro ragionamento. Assumiamo anche “P” e “Q” rispettivamente alle righe “4” e “6”. A questo punto, tramite la regola di eliminazione del condizionale “E→” deriviamo “R” sia da “P” che da “Q”. Abbiamo quindi tutte le premesse per utilizzare “E⋁”, e questa riga, la “8”, dipenderà solo dalle premesse delle righe “1”, “2” e “3” perchè come abbiamo già detto le due righe relative all’assunzione dei due disgiunti (“P” e “Q” in questo caso) vengono scaricate.

Se fa sole il cane mi trascina fuori, se nevica il cane mi trascina fuori, quindi, se piove o nevica il cane mi trascina fuori!

Non c’è pace per i logici…