Temi e protagonisti della filosofia

Frege, il Logicismo e la Fondazione logica della matematica

Frege, il Logicismo e la Fondazione logica della matematica

Apr 12

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Nel post precedente su cosa si intende con Filosofia del Linguaggio, abbiamo visto che la Filosofia del Linguaggio si può far nascere da Frege e che

si occupa di teoria del significato e del riferimento, intendendo con “riferimento” l’aspetto referenziale della connessione linguaggio-mondo.

Concludendo, abbiamo visto come significato e riferimento sono i temi con cui Frege, con le nozioni di Sinn e Bedeutung, Senso e Significato, si oppone alla teoria referenziale del linguaggio.

In realtà il contributo alla Filosofia del Linguaggio di Frege nasce da un interesse non propriamente filosofico: il filosofo “nasce” infatti come matematico e il suo obiettivo era il cosidetto “Logicismo“, ovvero il fondamento della matematica.

Proprio in questo orizzonte Frege si pone due domande:

1. che tipo di status metafisico hanno le entità matematiche?
2. gli enunciati matematici sono a priori o a posteriori? E se a posteriori, sono analitici o sintetici?

Il logicismo vede una relazione strettissima tra logica e matematica, perché la logica, secondo Frege, riguarda le leggi dell’essere vero.
Il problema è quindi che cosa possa fondare la matematica come linguaggio, ovvero come insieme di enunciati detti assiomi e teoremi, o se ci sia un linguaggio con un potere espressivo più ampio, in cui si possa parlare di numeri e non solo. La matematica è definita quindi linguaggio più calcolo, dove il calcolo si basa su regole che legittimano il passaggio da assiomi a teoremi, ovvero le dimostrazioni.

Il linguaggio che si cerca è proprio la logica, che enuncia le leggi del pensiero, dell’essere vero (Das Gedanke, il contenuto dell’atto cognitivo) e non le leggi del pensare (Denken, l’atto cognitivo), ambito della psicologia (invece per Boole, che revisiona il progetto fregeano, la logica si occupa delle leggi del pensare).
La logica secondo Frege sta quindi a fondamento della matematica: il numero è un particolare tipo di oggetto logico, ovvero gli oggetti matematici sono definibili logicamente.
I teoremi matematici sono quindi derivabili con assiomi logici: ciò porterà alla logica simbolica moderna.

Nel 1879 Frege pubblica l’ ”Ideografia, linguaggio in formule del pensiero puro”: nel 1884 pubblicherà “I fondamenti dell’aritmetica”, in cui propone una terza via tra l’empirismo di Mill, per cui la verità matematica è conoscibile a posteriori, e il razionalismo: per Frege gli enunciati matematici sono analitici a priori; ma in Frege c’è una nuova nozione di analitico, che a differenza di Kant è anche informativo, in quanto è tutto ciò che è logico o ne può essere ricavato.

Tradizionalmente i concetti venivano ottenuti per astrazione, per Frege il concetto viene ricavato dall’enunciato per estrazione.
Per Frege infatti il concetto dipende dalla dicotomia funzione-argomento, che sostituisce la tradizionale soggetto-predicato, rea di dare un’immagine distorta della forma logica dell’enunciato, come si può vedere nel passaggio di un enunciato alla forma passiva.

Mentre le funzioni sono insature, gli oggetti (individui ed altro), come “Paolo” sono saturi. Le funzioni, nell’ottica platonista e realista fregeana, non preesistono all’analisi né nascono con l’analisi; la funzione è un entità strutturale, di generalità, che può essere comune a tanti enunciati. In Frege infatti c’è il principio di estrazione delle funzioni dai giudizi. Tutti i concetti sono funzioni, in quanto loro specificazioni, ma non viceversa. Per la funzione Frege introduce quindi gli operatori di identità e maggiore-minore: sono quindi funzioni: A=B, A+B, A>B, A

Quindi “Paolo Rossi=Luigi Bianchi” ha come valore di verità il falso, mentre “Mark Twain=Samuel Clarence” è vera.
Per Frege anche i valori di verità sono oggetti, perché oggetto è tutto ciò che è saturo, ovvero nella cui espressione non compare alcuna lacuna. Ma che cosa sia oggetto è la logica a decretarlo, non la metafisica.


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