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LOGICA FORMALE 36: REGOLA DI INTRODUZIONE DELL’ESISTENZIALE

LOGICA FORMALE 36: REGOLA DI INTRODUZIONE DELL’ESISTENZIALE

Ago 29

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È stato come destarsi da un lungo sonno, ancora mezzi addormentati. È stato come emergere dall’acqua della piscina nel meriggio del caldo agosto dopo aver a lungo trattenuto il fiato, e lì, in un cantuccio della vostra mente, sorpresi, avete ritrovato quello spiffero freddo tagliente dell’autunno alle porte nel ritrovarvi assetati della conoscenza logica. Quella conoscenza che vi permette di tagliare a fette la vostra esperienza in formule e teoremi…
Non ci ha creduto neanche il mio cane che mi guarda impensierito! Io e Deva facciamo a gara a chi ha accumulato più grasso per l’inverno complice la chiusura in malafede del tempio dei tapis roulant: la palestra. Ma sono felice che ci incontriamo ancora, è tempo di sgranchirsi i neuroni!
Oggi quindi parliamo della regola di introduzione dell’esistenziale, che chiameremo amichevolmente “I∃”, conosciuta talvolta anche come generalizzazione esistenziale o anche solo particolarizzazione. Questa regola serve per derivare formule quantificate esistenzialmente come conclusione, dice che se una condizione vale per ogni “t” allora esiste un qualcosa per cui quella condizione è valida, ad esempio se “Deva è un cane” allora esiste qualcosa che è un cane. Riporto quindi lo schema di Berto che simboleggia l’utilizzo di questa regola:

α[x/t] (I∃) / ∃xα

Come al solito la qualità “t” deve essere libera per “x” in “α”; cioè, significa che nella formulazione iniziale del nostro ragionamento non dobbiamo avere un oggetto, o una classe di oggetti, già quantificati. Inoltre la conclusione dipenderà, come sempre, da tutte assunzioni da cui dipende la premessa. Tramite “I∃” possiamo ottenere una formula quantificata esistenzialmente sia da una formula chiusa F(m), che da una aperta F(x). Se partiamo da una formula chiusa o enunciato come nell’esempio di Deva, allora prima utilizziamo la proprietà delle variabili libere di poter stare per oggetti qualsiasi e mettiamo quindi “x” in luogo di “m”. Otteniamo così “x è un cane”, in luogo di “Deva è un cane”. A questo punto applichiamo “I∃”.
Naturalmente possiamo dedurre in via teorica una conclusione esistenziale da un qualsiasi universale. In linea teorica… Infatti dire che una regola vige su tutti gli oggetti di una classe, non implica ma solamente presuppone l’esistenza di quegli oggetti. Così in linea teorica possiamo dire: “ciò che vale per tutti, vale per qualcosa”, argomento così schematizzato:

∀xαᅡ∃xα
(1) 1 ∀Xα Ass
(2) 1 α[x/t] 1, E∀
(3) 1 ∃xα 2, I∃

Questo argomento sembra abbastanza intuitivo, ma come abbiamo visto poco fa non è formalmente correttissimo. Le logiche inclusive infatti rigettano questo tipo di argomento. E’ inutile che fate quelle facce! Se siete giunti fin qui avete la tempra e siete usi a spaccare capelli in quattro con la lente, quindi avanti! Si riprende da qui. Ben tornati!
Operai della filosofia uniamoci!


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